显微镜
尽管眼睛看见大大小小的物体的能力非常出色，但它所能检测到的最小细节显然受到限制。 人们渴望用肉眼超越可能的视野，这促使人们使用了光学仪器。 我们已经看到，一个简单的凸透镜可以创建放大的图像，但是用这样的镜头很难获得较大的放大倍率。 如果不扭曲图像，大于 5 倍的放大倍率是很难的。 为了获得更高的放大倍率，我们可以将简单的放大镜与一个或多个其他镜头结合使用。 在本节中，我们将研究显微镜，这些显微镜可以放大肉眼看不到的细节。
显微镜最初是由荷兰和丹麦的眼镜制造商在1700年代初开发的。 最简单的复合显微镜由两个凸透镜构成（图\(\PageIndex{1}\)）。 物镜是短焦距（即高功率）的凸透镜，典型放大倍率为5倍至100倍。 目镜，也称为目镜，是焦距较长的凸透镜。
显微镜的目的是创建小物体的放大图像，两个镜头都有助于最终的放大倍率。 此外，最终放大的图像是在离观察者足够远的地方生成的，以便于观看，因为眼睛无法聚焦在距离太近（即比眼睛近点更近）的物体或图像上。
图\(\PageIndex{1}\)：复合显微镜由两个镜头组成：物镜和目镜。 物镜形成第一张图像，该图像比物体大。 第一张图像位于目镜的焦距内，用作目镜的物体。 目镜形成最终图像，可进一步放大。
要了解图中的显微镜是如何\(\PageIndex{1}\)形成图像的，请考虑其两个连续镜头。 物体刚好超出了物镜\(f^{obj}\)的焦距，产生了比物体大的真实倒置图像。 第一张图像用作第二个镜头或目镜的物体。 目镜的定位使得第一张图像处于其焦距内\(f^{eye}\)，这样它就可以进一步放大图像。 从某种意义上说，它充当放大镜，可以放大物镜产生的中间图像。 目镜产生的图像是放大的虚拟图像。 最终图像保持倒置状态，但距离观察者比物体更远，因此易于观看。
眼睛观察目镜创建的虚拟图像，目镜充当眼睛中镜头的物体。 目镜形成的虚拟图像远远超出了眼睛的焦距，因此眼睛在视网膜上形成了真实的图像。
显微镜的放大倍率是物镜的线性放大倍率\(m^{obj}\)和目镜的角放大倍率的\(M^{eye}\)乘积。 这些是由给出的
\ begin {align*}
&\ underbrace {m^ {o b j} =-\ frac {d_ {i} ^ {o b j}} {d_ {o b j}} {d_ {i} ^ {o b j}} _ {\ text {物镜线性放大}}\\
underbrace {M^ {e y e} =1+\ frac {25 c m} {f^ {e y e}} _ {\ text {目镜的角度放大}}
\end {align*}
这里\(f^{obj}\)和分别\(f^{eye}\)是物镜和目镜的焦距。 我们假设最终图像是在眼睛的近点形成的，提供最大的放大倍率。 请注意，目镜的角度放大倍率与之前为简单放大镜获得的角度放大倍率相同。 这不足为奇，因为目镜本质上是一个放大镜，同样的物理学也适用于这里。 复合显微镜\(M_{net}\)的净放大倍率是物镜的线性放大倍率和目镜角放大倍率的乘积：
\[ M_{\mathrm{net}}=m^{\mathrm{obj}} M^{\mathrm{eye}}=-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}\left(f^{\mathrm{eye}}+25 \mathrm{cm}\right)}{f^{\mathrm{obj}} f^{\mathrm{eye}}} \label{2.34} . \]
示例\(\PageIndex{1}\): Microscope Magnification
计算放置在具有 6.00 mm 焦距物镜和 50.0 mm 焦距目镜的复合显微镜上 6.20 mm 放置的物体的放大倍率。 物镜和目镜相隔 23.0 cm。
策略
这种情况类似于图中所示的情况\(\PageIndex{1}\)。 要找到整体放大倍率，我们必须知道物镜的线性放大倍率和目镜的角放大倍率。 我们可以使用方程\ ref {2.34}，但我们需要使用薄镜方程来计算物镜\(d^{obj}_i\)的图像距离。
解决方案
求解\(d^{obj}_i\)给出的薄透镜方程
\ begin {align*} d^ {obj} _ {i} &=\ 左 (\ dfrac {1} {f^ {obj}} −\ dfrac {1} {d^ {obj} _o}\ 右) ^ {−1}\\ [5pt] &=\ 左 (\ dfrac {1} {6.00\, mm} −\ dfrac {1} {6.20mm}\ 右) ^ {−1}\\ [5pt] &=186\, mm\\ [5pt] &= 18.6\, cm\ end {align*}
将此结果与已知值一起插入方程\ ref {2.34}
\(f^{obj} = 6.00 \, mm = 0.600 \, cm\)
\(f^{eye} = 50.0 mm = 5.00 cm \)
给
\ begin {align*} M_ {net} &=−\ dfrac {d^ {obj} _i (f^ {eye} +25\, cm)} {f^ {obj} f^ {eye}}\\ [5pt] &=−\ dfrac {(18.6\, cm) (5.00\, cm)} {(0.600\, cm) (5.00\, cm)}\\ [5pt] &=−186\ end {align*}
意义
物镜和目镜都有助于整体放大倍率，整体放大倍率既大又负，与Figure一致\(\PageIndex{1}\)，在Figure中，图像被看作是大而反向的。 在这种情况下，图像是虚拟的和反向的，单个元素不可能发生这种情况。
图\(\PageIndex{2}\)：在无限远处创建图像的复合显微镜。
现在，我们计算图像处于无穷大状态时显微镜的放大倍数，如图所示\(\PageIndex{2}\)，因为这样可以最轻松地观看。 显微镜的放大倍率是物镜的线性放大倍率\(m^{obj}\)和目镜角放大倍率\(M^{eye}\)的乘积。 我们知道这一点
\[ m^{obj}=−\dfrac{d^{obj}_i}{d^{obj}_o} \nonumber \]
然后从薄透镜方程中我们得到
\[ m^{\mathrm{obj}}=-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{d_{\mathrm{o}}^{\mathrm{obj}}}=1-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{f^{\mathrm{obj}}}=\frac{f^{\mathrm{obj}}-d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{f^{\mathrm{obj}}} \label{2.35}. \]
如果最终图像位于无限处，则物镜创建的图像必须位于目镜的焦点处。 这可以通过考虑薄镜头方程来看出，\(d_i = \infty\)或者回想一下穿过焦点的光线彼此平行地离开镜头，这相当于在无限远处聚焦。 对于许多显微镜来说，物镜的图像侧焦点与目镜物体侧焦点之间的距离标准化为 L = 16 cm。 这个距离称为显微镜的管长。 从图\(\PageIndex{2}\)中我们可以看出
\[ L=f^{obj}−d^{obj}_i . \nonumber \]
将其插入方程式\ ref {2.35} 会得出
\[ m^{obj}=\dfrac{L}{f^{obj}}=\dfrac{16cm}{f^{obj}}. \label{eq2.36} \]
我们现在需要计算目镜的角度放大倍率，图像为无穷大。 为此，我们采用图像所对应的角度\(\theta_{object}\)与物体在眼睛近点（这是肉眼最接近物体能看到物体的角度，因此这是物体在视网膜上形成最大图像的位置\(\theta_{image}\)肉眼）。 使用图形\(\PageIndex{2}\)并使用小角度近似值，我们有
\[ \theta_{i m a g e} \approx \frac{h_{i}^{o b j}}{f^{e y e}} \nonumber \]
和
\[ \theta_{\text {object}} \approx \frac{h_{i}^{o b j}}{25 c m} \nonumber \]
其中\(h_{i}^{obj}\)是物镜形成的图像的高度，物镜是目镜的物体。 因此，目镜的角度放大倍率为
\[ M^{\text {eye }}=\frac{\theta_{\text {image }}}{\theta_{\text {object }}}=\frac{h_{i}^{\text {obj }}}{f^{\text {eye }}} \frac{25 \mathrm{cm}}{h_{i}^{\text {obj }}}=\frac{25 \mathrm{cm}}{f^{\text {eye }}} .\label{2.37} \]
因此，图像为无穷大的复合显微镜的净放大倍率为
\[ M_{net}=m^{obj}M^{eye}=−\dfrac{(16cm)(25cm)}{f^{obj}f^{eye}}. \label{2.38} \]
焦距必须以厘米为单位。 减号表示最终图像是反向的。 请注意，方程中唯一的变量是目镜和物镜的焦距，这使得该方程特别有用。